Dos Fábricas y una casa, desarrollo

Aquí esta el desarrollo del problema de las 2 fábricas:

(click para ver como se mueve el gif)

La fábrica de la izquierda es A, la de la derecha es B. El dominio de la función es [1,14] pues recordemos que debe haber 1 Km de restricción para construir casas por seguridad. la distancia de la fábrica A a la casa es X, y de la casa a la fábrica B es 15-x.

Contaminación A= 75/x Contaminación B= 300/15-x

Contaminación C(x) = 75/x + 300/15-x=

= 75x^-1 + 300 (15-x)^-1

C´= -75^-2 – 300 (15-x)^-2 (-1)

-75/x^-2 + 300/(15-x)² = 0

75/x² = 300/(15-x)²

75 (15-x)² = 300 (x²)

75 (225-30x+x²) = 300x²

225-30x+x² = 4x²……………….factor común 75

3x²+30x-225 = 0

X²+10x -75 = 0…………………factor común 3

(x+15) (x-5)

como el rango de este problema es [1,14], no podemos usar como respuesta -15, por lo tanto la respuesta es:

la casa debe de estar a 5Km de la fábrica A y recibirá contaminación de:

CA+CB =

75/x + 300/15-x =

75/5 + 300/15-5 =

15 + 30 =

45 ppm de contaminación

al graficar la función veremos que resulta un mínimo pues buscamos la menor contaminación posible

Agradecemos a Emmanuel Gutiérrez Valdés por la ilustración de las fábricas y la casa